Q1. Which of the following statements correctly represents the logical equivalence known as De Morgan's Law for propositions p and q? निम्नलिखित में से कौन सा कथन p और q प्रस्तावों के लिए डी मॉर्गन के नियम के रूप में ज्ञात तार्किक तुल्यता को सही ढंग से दर्शाता है?

1. ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
2. ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
3. Both (A) and (B) are correct ✓
4. और (B) दोनों सही हैं
5. Neither (A) nor (B) is correct न (A) सही है और न ही (B)

Answer: C. Both (A) and (B) are correct
Explanation: De Morgan's Laws state that the negation of a conjunction is the disjunction of the negations, and the negation of a disjunction is the conjunction of the negations. Both ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q and ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q are valid logical equivalences, making both statements correct. डी मॉर्गन के नियम बताते हैं कि संयोजन (conjunction) का निषेध निषेधों का वियोजन (disjunction) होता है, और वियोजन का निषेध निषेधों का संयोजन होता है। ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q और ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q दोनों वैध तार्किक तुल्यताएँ हैं, जिससे दोनों कथन सही हो जाते हैं।

Q2. Consider the assertion-reason question below: नीचे दिए गए कथन-कारण प्रश्न पर विचार करें: Assertion (A): The statement "∀x P(x) → ∃x P(x)" is always true for any non-empty domain. कथन (A): कथन "∀x P(x) → ∃x P(x)" किसी भी गैर-रिक्त डोमेन के लिए हमेशा सत्य होता है। Reason (R): If a predicate is true for every element of the domain, then it must be true for at least one element of the domain. कारण (R): यदि कोई विधेय डोमेन के हर तत्व के लिए सत्य है, तो वह डोमेन के कम से कम एक तत्व के लिए सत्य होना चाहिए।

1. Both (A) and (R) are true, and (R) is the correct explanation of (A) ✓
2. और (R) दोनों सत्य हैं, और (R), (A) की सही व्याख्या है
3. Both (A) and (R) are true, but (R) is NOT the correct explanation of (A)
4. और (R) दोनों सत्य हैं, लेकिन (R), (A) की सही व्याख्या नहीं है
5. (A) is true, but (R) is false
6. सत्य है, लेकिन (R) असत्य है

Answer: A. Both (A) and (R) are true, and (R) is the correct explanation of (A)
Explanation: The universal quantifier implies the existential quantifier over a non-empty domain: if P(x) holds for all x, then there exists at least one x for which P(x) holds. The reason correctly explains why the implication is a tautology, as the universal statement guarantees the existence of at least one satisfying element. सार्वत्रिक परिमाणक (universal quantifier) गैर-रिक्त डोमेन पर अस्तित्व परिमाणक (existential quantifier) को निहित करता है: यदि P(x) सभी x के लिए सत्य है, तो कम से कम एक ऐसा x अवश्य होगा जिसके लिए P(x) सत्य है। कारण सही ढंग से बताता है कि यह निहितार्थ एक टॉटोलॉजी क्यों है, क्योंकि सार्वत्रिक कथन कम से कम एक संतोषजनक तत्व के अस्तित्व की गारंटी देता है।

Q3. Which of the following is/are correct regarding the rules of inference? निम्नलिखित में से कौन सा/से निष्कर्ष नियमों (rules of inference) के संबंध में सही है/हैं? (i) Modus Ponens: From p → q and p, we can infer q. मोडस पोनेन्स: p → q और p से, हम q निकाल सकते हैं। (ii) Modus Tollens: From p → q and ¬q, we can infer ¬p. मोडस टोलेंस: p → q और ¬q से, हम ¬p निकाल सकते हैं। (iii) Hypothetical Syllogism: From p → q and q → r, we can infer p → r. काल्पनिक न्यायवाक्य (Hypothetical Syllogism): p → q और q → r से, हम p → r निकाल सकते हैं। (iv) Disjunctive Syllogism: From p ∨ q and ¬p, we can infer q. वियोजक न्यायवाक्य (Disjunctive Syllogism): p ∨ q और ¬p से, हम q निकाल सकते हैं।

1. Only (i) and (ii) are correct केवल (i) और (ii) सही हैं
2. Only (iii) and (iv) are correct केवल (iii) और (iv) सही हैं
3. All (i), (ii), (iii), and (iv) are correct (i), (ii), (iii), और (iv) सभी सही हैं ✓
4. Only (i), (ii), and (iii) are correct केवल (i), (ii), और (iii) सही हैं

Answer: C. All (i), (ii), (iii), and (iv) are correct (i), (ii), (iii), और (iv) सभी सही हैं
Explanation: All four rules of inference are valid. Modus Ponens derives q from p→q and p; Modus Tollens derives ¬p from p→q and ¬q; Hypothetical Syllogism derives p→r from p→q and q→r; and Disjunctive Syllogism derives q from p∨q and ¬p. These are fundamental valid argument forms in propositional logic. चारों निष्कर्ष नियम वैध हैं। मोडस पोनेन्स p→q और p से q निकालता है; मोडस टोलेंस p→q और ¬q से ¬p निकालता है; काल्पनिक न्यायवाक्य p→q और q→r से p→r निकालता है; और वियोजक न्यायवाक्य p∨q और ¬p से q निकालता है। ये प्रस्तावक तर्क में मौलिक वैध तर्क रूप हैं।

Q4. The statement "There exists a student who has taken every course" can be correctly expressed in predicate logic as: "एक ऐसा छात्र है जिसने हर पाठ्यक्रम लिया है" कथन को विधेय तर्क में सही ढंग से इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

1. ∃x ∀y (Student(x) ∧ Course(y) → Takes(x, y)) ∃x ∀y (Student(x) ∧ Course(y) → Takes(x, y)) ✓
2. ∀y ∃x (Student(x) ∧ Course(y) → Takes(x, y)) ∀y ∃x (Student(x) ∧ Course(y) → Takes(x, y))
3. ∃x ∀y (Student(x) ∧ Course(y) ∧ Takes(x, y)) ∃x ∀y (Student(x) ∧ Course(y) ∧ Takes(x, y))
4. ∀x ∃y (Student(x) ∧ Course(y) → Takes(x, y)) ∀x ∃y (Student(x) ∧ Course(y) → Takes(x, y))

Answer: A. ∃x ∀y (Student(x) ∧ Course(y) → Takes(x, y)) ∃x ∀y (Student(x) ∧ Course(y) → Takes(x, y))
Explanation: The statement requires the existence of a specific student (∃x) such that for every course (∀y), if y is a course and x is a student, then x has taken y. The order of quantifiers matters: ∃x ∀y correctly captures "there is one student who has taken all courses," whereas ∀y ∃x would mean "for every course, there is some (possibly different) student who took it." कथन के लिए एक विशिष्ट छात्र (∃x) का अस्तित्व आवश्यक है जैसे कि हर पाठ्यक्रम (∀y) के लिए, यदि y एक पाठ्यक्रम है और x एक छात्र है, तो x ने y लिया है। परिमाणकों का क्रम मायने रखता है: ∃x ∀y सही ढंग से दर्शाता है कि "एक छात्र है जिसने सभी पाठ्यक्रम लिए हैं," जबकि ∀y ∃x का अर्थ होगा "हर पाठ्यक्रम के लिए, कोई (संभवतः भिन्न) छात्र है जिसने उसे लिया।"

Q5. Which of the following statements about the Conjunctive Normal Form (CNF) is/are correct? कंजंक्टिव नॉर्मल फॉर्म (CNF) के बारे में निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सही है/हैं? (i) A formula in CNF is a conjunction of clauses, where each clause is a disjunction of literals. CNF में एक सूत्र खंडों (clauses) का संयोजन है, जहाँ प्रत्येक खंड शाब्दिकों (literals) का वियोजन है। (ii) Every propositional formula can be converted to an equivalent CNF. प्रत्येक प्रस्तावक सूत्र को समतुल्य CNF में परिवर्तित किया जा सकता है। (iii) CNF is used in resolution-based automated theorem proving. CNF का उपयोग रेज़ोल्यूशन-आधारित स्वचालित प्रमेय सिद्ध करने में किया जाता है।

1. Only (i) and (ii) are correct केवल (i) और (ii) सही हैं
2. Only (i) and (iii) are correct केवल (i) और (iii) सही हैं
3. Only (ii) and (iii) are correct केवल (ii) और (iii) सही हैं
4. All (i), (ii), and (iii) are correct (i), (ii), और (iii) सभी सही हैं ✓

Answer: D. All (i), (ii), and (iii) are correct (i), (ii), और (iii) सभी सही हैं
Explanation: All three statements are correct. CNF is defined as a conjunction of clauses, each being a disjunction of literals. Every propositional formula can indeed be transformed into an equivalent CNF through logical equivalences. Resolution, a key technique in automated theorem proving, operates on formulas in CNF, making it essential for systems like Prolog and SAT solvers. तीनों कथन सही हैं। CNF को खंडों के संयोजन के रूप में परिभाषित किया गया है, जिनमें से प्रत्येक शाब्दिकों का वियोजन है। प्रत्येक प्रस्तावक सूत्र को तार्किक तुल्यताओं के माध्यम से समतुल्य CNF में बदला जा सकता है। रेज़ोल्यूशन, जो स्वचालित प्रमेय सिद्ध करने की एक प्रमुख तकनीक है, CNF में सूत्रों पर कार्य करता है, जिससे यह Prolog और SAT सॉल्वर जैसी प्रणालियों के लिए आवश्यक हो जाता है।

Q6. Consider the assertion-reason question below: नीचे दिए गए कथन-कारण प्रश्न पर विचार करें: Assertion (A): The proposition (p → q) ∧ (q → p) is logically equivalent to p ↔ q. कथन (A): प्रस्ताव (p → q) ∧ (q → p) तार्किक रूप से p ↔ q के समतुल्य है। Reason (R): The biconditional p ↔ q is true exactly when both p and q have the same truth value. कारण (R): द्विशर्तात्मक (biconditional) p ↔ q ठीक तब सत्य होता है जब p और q दोनों का सत्य मान समान हो।

1. Both (A) and (R) are true, and (R) is the correct explanation of (A) ✓
2. और (R) दोनों सत्य हैं, और (R), (A) की सही व्याख्या है
3. Both (A) and (R) are true, but (R) is NOT the correct explanation of (A)
4. और (R) दोनों सत्य हैं, लेकिन (R), (A) की सही व्याख्या नहीं है
5. (A) is true, but (R) is false
6. सत्य है, लेकिन (R) असत्य है

Answer: A. Both (A) and (R) are true, and (R) is the correct explanation of (A)
Explanation: The biconditional p ↔ q is defined as (p → q) ∧ (q → p), making the assertion correct. The reason correctly explains this equivalence: the biconditional is true precisely when p and q share the same truth value, which is exactly what the conjunction of both implications ensures. Both the assertion and reason are true, with the reason properly explaining the assertion. द्विशर्तात्मक p ↔ q को (p → q) ∧ (q → p) के रूप में परिभाषित किया गया है, जिससे कथन सही हो जाता है। कारण इस तुल्यता को सही ढंग से समझाता है: द्विशर्तात्मक ठीक तब सत्य होता है जब p और q का सत्य मान समान हो, जो कि दोनों निहितार्थों का संयोजन सुनिश्चित करता है। कथन और कारण दोनों सत्य हैं, और कारण कथन की सही व्याख्या करता है।

Q7. The negation of the statement "∀x ∃y (x + y = 0)" over the domain of real numbers is: वास्तविक संख्याओं के डोमेन पर कथन "∀x ∃y (x + y = 0)" का निषेध है:

1. ∃x ∀y (x + y ≠ 0) ✓
2. ∀x ∃y (x + y ≠ 0)
3. ∃x ∃y (x + y ≠ 0)
4. ∀x ∀y (x + y ≠ 0)

Answer: A. ∃x ∀y (x + y ≠ 0)
Explanation: To negate a statement with nested quantifiers, we flip each quantifier (∀ becomes ∃, and ∃ becomes ∀) and negate the inner predicate. Thus, ¬[∀x ∃y (x + y = 0)] becomes ∃x ∀y ¬(x + y = 0), which simplifies to ∃x ∀y (x + y ≠ 0). This correctly states that there exists an x such that for all y, x + y is not equal to zero. नेस्टेड परिमाणकों वाले कथन का निषेध करने के लिए, हम प्रत्येक परिमाणक को उलट देते हैं (∀ को ∃ बन जाता है, और ∃ को ∀ बन जाता है) और आंतरिक विधेय का निषेध करते हैं। इस प्रकार, ¬[∀x ∃y (x + y = 0)] बन जाता है ∃x ∀y ¬(x + y = 0), जो सरल होकर ∃x ∀y (x + y ≠ 0) बन जाता है। यह सही ढंग से बताता है कि एक ऐसा x मौजूद है जिसके लिए सभी y के लिए, x + y शून्य के बराबर नहीं है।

Q8. Which of the following is the correct sequence of steps to convert the formula (p → q) ∧ r into Conjunctive Normal Form (CNF)? सूत्र (p → q) ∧ r को कंजंक्टिव नॉर्मल फॉर्म (CNF) में बदलने के लिए निम्नलिखित में से सही चरणों का क्रम क्या है? (i) Eliminate the implication using the equivalence p → q ≡ ¬p ∨ q. निहितार्थ को तुल्यता p → q ≡ ¬p ∨ q का उपयोग करके हटाएँ। (ii) Apply De Morgan's Laws and distributive laws as needed. आवश्यकता अनुसार डी मॉर्गन के नियम और वितरण नियम लागू करें। (iii) The resulting formula (¬p ∨ q) ∧ r is already in CNF. परिणामी सूत्र (¬p ∨ q) ∧ r पहले से ही CNF में है।

1. (i) → (ii) → (iii) (i) → (ii) → (iii) ✓
2. (ii) → (i) → (iii) (ii) → (i) → (iii)
3. (i) → (iii) → (ii) (i) → (iii) → (ii)
4. (iii) → (i) → (ii) (iii) → (i) → (ii)

Answer: A. (i) → (ii) → (iii) (i) → (ii) → (iii)
Explanation: The standard procedure for CNF conversion is: first eliminate implications and equivalences, then move negations inward using De Morgan's Laws, and finally distribute disjunctions over conjunctions. Here, eliminating the implication gives (¬p ∨ q) ∧ r, which is already a conjunction of clauses (each clause being a disjunction of literals), so no further steps are needed. The correct order is (i) → (ii) → (iii). CNF रूपांतरण की मानक प्रक्रिया है: पहले निहितार्थों और तुल्यताओं को हटाएँ, फिर डी मॉर्गन के नियमों का उपयोग करके निषेधों को अंदर की ओर ले जाएँ, और अंत में वियोजन को संयोजन पर वितरित करें। यहाँ, निहितार्थ हटाने पर (¬p ∨ q) ∧ r मिलता है, जो पहले से ही खंडों का संयोजन है (प्रत्येक खंड शाब्दिकों का वियोजन है), इसलिए आगे कोई चरण आवश्यक नहीं है। सही क्रम (i) → (ii) → (iii) है।

Q9. Which of the following correctly represents the converse of the implication p → q? निम्नलिखित में से कौन सा निहितार्थ p → q का विलोम (converse) सही ढंग से दर्शाता है?

1. q → p ✓
2. ¬p → ¬q
3. ¬q → ¬p
4. p ↔ q

Answer: A. q → p
Explanation: The converse of an implication p → q is formed by swapping the antecedent and consequent, giving q → p. Note that ¬q → ¬p is the contrapositive, and ¬p → ¬q is the inverse. किसी निहितार्थ p → q का विलोम पूर्वगामी (antecedent) और अनुगामी (consequent) को परस्पर बदलने से बनता है, जिससे q → p प्राप्त होता है। ध्यान दें कि ¬q → ¬p प्रतिधनात्मक (contrapositive) है, और ¬p → ¬q व्युत्क्रम (inverse) है।

Q10. Consider the assertion-reason question below: नीचे दिए गए कथन-कारण प्रश्न पर विचार करें: Assertion (A): The formula (p ∧ q) → r is logically equivalent to p → (q → r). कथन (A): सूत्र (p ∧ q) → r तार्किक रूप से p → (q → r) के समतुल्य है। Reason (R): This equivalence is known as exportation. कारण (R): यह समतुल्यता निर्यातन (exportation) कहलाती है।

1. Both A and R are true, and R is the correct explanation of A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है ✓
2. Both A and R are true, but R is not the correct explanation of A A और R दोनों सत्य हैं, लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है
3. A is true, but R is false A सत्य है, लेकिन R असत्य है
4. A is false, but R is true A असत्य है, लेकिन R सत्य है

Answer: A. Both A and R are true, and R is the correct explanation of A A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
Explanation: Exportation states that (p ∧ q) → r ≡ p → (q → r). Both the assertion and the reason are correct, and the reason correctly names the equivalence used in the assertion. निर्यातन (exportation) बताता है कि (p ∧ q) → r ≡ p → (q → r)। कथन और कारण दोनों सही हैं, और कारण कथन में प्रयुक्त समतुल्यता का सही नाम बताता है।